环体体积可以套用祖暅原理吗

charlespfan

巴普斯定理

瓦格雷

netplaying 发表于 2023-11-24 09:41
前几天看儿子有个奥数题，大致意思是计算如果地球海面升高50m，需要增加多少水量。我第一反应是用球体积公 ...

﹃_﹃〣  你直接海洋面积*50m就是了  想太多了

netplaying

前几天看儿子有个奥数题，大致意思是计算如果地球海面升高50m，需要增加多少水量。我第一反应是用球体积公式分别计算增加前后的地球体积再相减，但转念想到要考虑海陆比，还是用球面积公式分别乘以增加前后的海洋面积比例来算了。

毒菇

波卡帕马 发表于 2023-11-24 09:24
其实我纠结是因为虽然截面相同，但是不满足“用同一平面切割”的标准，所以害怕是凑巧相同。总之觉得堂堂 ...

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你摆得不对，怎么就不是同一平面了

毒菇

其实这个不是祖暅原理是否适用的问题，祖暅原理就是微积分的思想，别说是规则的回转体了，就算是完全不规则的形状都是适用

实际上问题在于楼主所描述的环和圆柱，是否是满足祖暅原理的两个对象，直觉觉得是，想多一点感觉可能不是，但是算出来可以证明确实是

毒菇

波卡帕马 发表于 2023-11-24 08:52
就是因为结果相同，所以才问这样对不对

既然积分式相同那肯定结果相同，所以应用祖暅定理在这里我认为是没问题的

这个事情就在于，内外半径分别为（R+r）和（R-r）的环，和短边长2r，长边2πR的矩形，面积是否相等。对于不那么严格的人可能会觉得，这环不就是矩形扭一扭嘛，肯定相等 ，这是第一层；对于想得稍微多了一点的人会怀疑，矩形内外边扫过的路径长度不一样，是不会会不相等，这是第二层；但是确实提笔算一下两个形状的面积，会发现确实是相等，因为对称性，周长2πR的路径两侧扫过的距离差值存在互相抵消的现象，这是第三层

第一层是直觉，第二层是具象思维，第三层是完全抽象的数学方法

2楼所说的“角度不同”，就是只想到了第二层，但是受限于人的几何想象能力的局限，完全具象的思考几何问题可能会漏边界条件、漏约束，而对于这种简单的几何问题，抽象出来的参数方程肯定是包含所有边界条件和约束的，当然会比具象的分析更加准确

毒菇

虽然不知道是不是属于祖暅定理的应用，但是易得“截面半径r，以截面半径轨迹确定，环半径R”和“圆柱截面半径r，高2πR”的两个体积积分式是一致的

瓦格雷

圆面积也是这么推导出来的  微分思维

猫屎盆子

在截面直径远小于环的直径的时候才成立吧