问个数学题，不定方程不挨个试怎么解

charlespfan

x^2+6xy+y^2-z^2=0，x,y,z为正整数。
没学过不定方程怎么解，有没有不挨个试的办法
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更新：11、14楼的大佬和12楼的大佬给出了我想要的答案，他们的思路好像也差不太多，大家可以看一下





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关于为什么要问这个方程：

以前高中时做过个题目
双曲线ⅹ^2/a^2-y^2/b^2=1，左右焦点为F1，F2。一直线过F1与双曲线的左支交于A，B两点。∠AF2B=90°，AF1:BF1=2:3，求双曲线离心率。

当时找到了这个题的通解，
设AF1:BF1=λ:μ，e是离心率。
解得e^2=1+2tan(∠AF2B/2)^2+2/(λ+μ)*tan(∠AF2B/2)*sqrt[tan(∠AF2B/2)^2*(λ+μ)^2+4λμ]

正好最近被我翻出来，于是我寻思，出题人是怎么凑出这么刚刚好的答案的，因为如果根号里的结果不是平方数（即若tan(∠AF2B/2)^2*(λ+μ)^2+4λμ不是平方数），e的结果就要开双重根号，很不好看。
然后为了更容易算一些，保留题目里的tan(∠AF2B/2)=1（就是tan(90°/2)=1），最终就变成了考虑不定方程(λ+μ)^2+4λμ=m^2的正整数解了，就是主楼里的那个。

dodolee

不定方程不就是一个曲线或者曲面么

eno_emos

(x+z)(x-z)+(6x+y)y=0
都是正整数的情况下x一定小于z？同理y也小于z？

neotaburiss

4xy=（z+x+y）（z-x-y）

xy 可交换 设z 大于 y 大于 x 然后分情况讨论

z+x+y=4x z-x-y=y

3x-y=2y+x 2x=3y x=2 y=3 x=7

伊迪潘宫森

也可以看成是二次型

neotaburiss

orz 在床上用手机写 全错乱了 反正思路是换成左右都是乘法然后讨论

Ne0

简单变形一下是 (x+3y+z)(x+3y-z) = 8y^2.
对每个固定的 y, 要使 x 和 z 有整数解, 只要将右侧分解为两个偶数的积即可.

csodaszarvas

二次曲面呗
https://www.geogebra.org/3d

yeo

还是很难的，希尔伯特第十问题就是找到一个算法可以在有限步内确定任意不定方程是否有解...答案是没有这样的算法

据说二次的丢番图方程比较好解决

3次的就有著名坑题

求a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)=4的解

这种有设计的题也是分成几个相等的乘法再根据质因数分解讨论答案吧...

الطائر

若 x = y，方程无解。假设 x > y，不失一般性， 令 x + y = c，x - y  = b，z = a，得到 a^2 + b^2 = 2c^2，通解为：

a = 2m^2+4mn+n^2
b = |2m^2-n^2|
c = 2m^2+2mn+n^2

其中 m, n 为正整数，此时 x = (c+b)/2, y =(c-b)/2 为正整数。

salic428

通常这种丢番图方程确实很难啦，不过这题出人意料地简单。
题目：x^2+6xy+y^2-z^2=0，x,y,z为正整数。
首先注意到（注），左边的式子可以写成2*(x+y)^2-(x-y)^2-z^2=0，也就是2*(x+y)^2=(x-y)^2+z^2。这导致我们可以作代换{X=x+y, Y=x-y, Z=z}，从而改为解方程2*X^2=Y^2+Z^2。
（注：实际上我本来想写成类似a^2+b^2的形式的，试了几次不可能之后我才想到，这是因为x^2+6xy+y^2的判别式Δ=6^2-4>0。只有小于0的时候才能配方为两个非负项。知道该配成什么形式之后剩下的就是简单的对角化了。）

那么就来解方程
2*X^2=Y^2+Z^2。解出(X, Y, Z)之后，随时可以通过{x=(X+Y)/2, y=(X-Y)/2, z=Z}回到题目要求的原问题的解。
（我们略过一种最简单的情况：X=Y=Z，这时候还原会发现 y=0, x=z。）
直接写成平方差公式：
(X-Y)(X+Y)=(Z-X)(Z+X)
注意一个事实：X-Y 和 X+Y 一定同时为奇数或者同时为偶数（为什么？）；Z-X 和 Z+X 同理。又因为奇数的乘积不可能是偶数，所以这四个数都同时为奇数或同时为偶数。
除此之外，注意到x=(X+Y)/2, y=(X-Y)/2都必须是正整数，所以 X-Y 和 X+Y（连带地，Z-X 和 Z+X）都必须是偶数。

（这里跳过一些试探性运算）

因此，Z-Y = (Z+X) - (X+Y) 和 Z+Y = (Z+X) - (X-Y) 也一定是偶数。不妨令 {Z-Y = 2 * x1,  Z+Y = 2 * x2}，从而 {Z = x1 + x2, Y = -x1 + x2}。代入原式
2*X^2=Y^2+Z^2
，得：
2*X^2 = (x1 - x2)^2 + (x1 + x2)^2 = 2 (x1^2 + x2^2)
，即
X^2 = x1^2 + x2^2
这正是勾股定理的方程。

所以解法如下。首先，取任意一组勾股数（勾股方程的全部解在网上很容易找到），得到 (X, x1, x2)；然后，计算出对应的 (X, Y, Z)；最后，计算出 (x, y, z)。举例说明：
容易验证 13^2 = 12^2 + 5^2 是一组勾股数。即 (X, x1, x2) = (13, 12, 5)。代入得到 (X, Y, Z) = (13, -7, 17)。代入得到 (x, y, z) = (3, 10, 17)。容易验证(x, y, z) = (3, 10, 17)是x^2+6xy+y^2-z^2=0的解。

lwflwf

睡前提供个无聊的观察，不确定有没有用：
mod 3，平方只能是1或者0，勾股定理必须有个直角边是偶数，所以是0，所以不妨设y^2=0，那么y=0 mod 3
所以可以mod 9，于是现在要找的就是x^2=z^2 mod 9的情况，所以x=z mod 9或x=9-z mod 9
代入再化简，没有笔纸懒得算了，但是楼上3，10，17的答案应该马上能出来

الطائر

الطائر 发表于 2023-12-8 01:04
若 x = y，方程无解。假设 x > y，不失一般性， 令 x + y = c，x - y  = b，z = a，得到 a^2 + b^2 = 2c^2 ...

注：a^2 + b^2 = c^2 + d^2 的通解为 a = pq + rs, b = |pr - qs|, c = |pq - rs|, d = pr + qs，其中 p, q, r, s 为正整数，
若 c = d，则有 p = r - q, s = r + q，即 p = n, q = m, r = m + n, s = 2m + n，即得前贴公式。代入得：

x = 2m^2 + mn （x 和 y 可交换，暂且不管顺序）
y = mn + n^2
z = 2m^2 + 4mn + n^2

对应 (m,n) = (1,1), (2,1), (3,1), (1,3), (2,3) 的解为 (x,y,z) = (3,2,7), (10,3,17), (21,4,31), (5,12,23), (14,15,41)